拓扑空间的separation是指用拓扑手段来区分不相交的集合或不同的点。具体来说，separation是一系列的性质，用字母T加上数字下标来表示。不同的数字下标表示不同的强度，数字越大，性质越强。例如，T0性质是指空间中任意两个不同的点都是拓扑可区分的（topologically distinguishable），也就是说，它们不具有完全相同的邻域。T1性质是指空间中任意两个不同的点都是分离的（separated），也就是说，每个点都有一个邻域，不包含另一个点。T2性质又称为Hausdorff性质，是指空间中任意两个不同的点都存在不相交的邻域。更高阶的separation性质还有T3、T4等，它们涉及到正则（regular）、正规（normal）等概念。

什么是Hausdorff space？

Hausdorff space是一种拓扑空间，它满足T2性质，也就是说，空间中任意两个不同的点都存在不相交的邻域 Hausdorff space是由德国数学家Felix Hausdorff命名的，他在1914年的《集合论基础》（Grundzüge der Mengenlehre）中将T2性质作为拓扑空间的一个公理 。Hausdorff space具有许多一般拓扑空间所不具有的性质，例如，序列的极限是唯一的 ，连续函数的值域是闭集 Britannica space，特别是，实数集（在标准度量拓扑下）是一个Hausdorff space。

拓扑空间的separation性质有什么用？

拓扑空间的separation性质有很多用途，它们可以用来刻画空间的连续性、紧致性、完备性等方面的特征。例如，T2性质可以保证序列的极限是唯一的，T3性质可以保证连续函数的值域是闭集，T4性质可以保证紧致子集是闭集等。separation性质也可以用来区分不同类型的拓扑空间，例如度量空间、拓扑群、流形等。separation性质还可以用来研究拓扑空间之间的映射，例如连续映射、同胚映射、嵌入映射等。

topological space的countability是指一个拓扑空间满足一些可数性的公理。具体来说，有两种常见的可数性公理：

? 第一可数性公理：如果一个拓扑空间的每个点都有一个可数的邻域基（或局部基），那么这个空间就是第一可数的。邻域基就是一组包含这个点的邻域，使得任何包含这个点的邻域都包含这组邻域中的某一个。

? 第二可数性公理：如果一个拓扑空间有一个可数的拓扑基，那么这个空间就是第二可数的。拓扑基就是一组开集，使得任何开集都可以写成这组开集的并集。 https://en.wikipedia.org/wiki/Second-countable_space

第二可数性公理比第一可数性公理更强，因为如果一个空间有一个可数的拓扑基，那么每个点都有一个可数的邻域基（就是所有包含这个点的拓扑基元素）。但是反过来不一定成立，比如不可数的离散空间就是第一可数的但不是第二可数的。

第一可数性和第二可数性都可以对拓扑空间的结构和性质有一些限制和推论。比如，每个第二可数的空间都是分离的（有一个可数的稠密子集）和Lindel?f的（每个开覆盖都有一个可数子覆盖）。而在度量空间中，第二可数性、分离性和Lindel?f性都是等价的。第一可数性和第二可数性都可以对拓扑空间的结构和性质有一些限制和推论。比如，每个第二可数的空间都是分离的（有一个可数的稠密子集）和Lindel?f的（每个开覆盖都有一个可数子覆盖）。而在度量空间中，第二可数性、分离性和Lindel?f性都是等价的。

拓扑空间的connectedness是什么？根据维基百科 ，connectedness是拓扑学中的一个性质，它表示一个拓扑空间不能被分成两个或多个不相交的非空开集。connectedness是区分拓扑空间的主要性质之一。一个拓扑空间或子集是connected的，当且仅当它在子空间拓扑下作为一个拓扑空间是connected的。一个直观的想法是，一个connected空间是“一体”的，没有“裂缝”或“断点”。例如，实数集是connected的，因为它不能被分成两个不相交的开区间，而有理数集不是connected的，因为它可以被无理数集分成两个不相交的开集。connectedness有一些相关但更强的概念，如path connected, simply connected和n-connected. 另一个相关的概念是locally connected，它既不蕴含也不由connectedness蕴含。

拓扑空间的compactness是什么？根据维基百科 ，compactness是拓扑学中的一个性质，它试图把欧几里得空间中的闭集和有界集推广到更抽象的拓扑空间。compactness的一个直观的想法是，一个compact空间没有“孔洞”或“缺失的端点”，也就是说，它包含了所有点的极限值。例如，开区间(0,1)不是compact的，因为它不包含0和1这两个极限值，而闭区间[0,1]是compact的。类似地，有理数集不是compact的，因为它有无穷多个“孔洞”对应于无理数，而实数集也不是compact的，因为它不包含正负无穷。然而，扩充实数轴就是compact的，因为它包含了两个无穷。 compactness最一般和最适合证明的定义是用开覆盖来表述的。一个开覆盖是指一组开集，它们的并集包含了给定的空间或子集；如果一个开覆盖中有有限个开集就能覆盖给定的空间或子集，那么这个开覆盖就叫做有限子覆盖。一个拓扑空间或子集是compact的，当且仅当它的每个开覆盖都有有限子覆盖。这个定义也可以推广到整个空间：一个拓扑空间是compact的，当且仅当它作为自身的子集是compact的。可以证明，一个拓扑空间作为另一个拓扑空间的子集是compact的，当且仅当它在子空间拓扑下作为一个拓扑空间是compact的；所以这些定义是一致的。

在拓扑学中，同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。拓扑空间是一个几何物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。例如，正方形和圆是同胚的，但球面和环面就不是。

同胚的定义可以用以下等价的方式表述：对于拓扑空间 X 和 Y ，如果存在一个双射 f:X Y ，使得 f 和 f^{-1}都是连续映射，那么我们有 X Y 。

在拓扑学中，同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。拓扑空间是一个几何物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。例如，正方形和圆是同胚的，但球面和环面就不是。

拓扑空间的continuity是指拓扑空间之间的函数是否保持空间的结构。具体来说，如果有两个拓扑空间X和Y，以及一个函数f: X → Y，那么f是continuous的，如果对于Y中的任意开集V，它的原像f ? 1(V)是X中的开集。这个定义可以推广到连续性在某一点的概念，即对于X中的任意点x，对于f(x)的任意邻域V，存在x的一个邻域U，使得f(U) ? V。拓扑空间的continuity有很多用途，它可以用来刻画拓扑空间之间的相似性、等价性、变换性等方面的特征。例如，如果两个拓扑空间之间存在一个双射的连续函数，并且它的逆函数也是连续的，那么这两个空间就是同胚（homeomorphic）的，也就是说它们在拓扑结构上是完全相同的。continuity还可以用来研究拓扑空间上的代数结构、微分结构、度量结构等。

双射，单射和满射是三种不同的函数类型，它们描述了函数的输入和输出之间的对应关系。具体来说：

? 单射是指函数的每个输出都只有一个输入，也就是说，不同的输入不能对应到相同的输出。

? 满射是指函数的每个输出都有至少一个输入，也就是说，函数的值域等于它的陪域。

? 双射是指函数既是单射又是满射，也就是说，函数的每个输出都有一个唯一的输入，而且函数的值域等于它的陪域。

同胚可以保持拓扑空间的一些性质不变，这些性质称为拓扑不变量（topological invariant）。例如，连通性（connectedness），紧致性（compactness），边界的连通分支数（number of components of the boundary），基本群（fundamental group）等都是拓扑不变量。这意味着如果两个拓扑空间是同胚的，那么它们在这些性质上是相同的。反之，如果两个拓扑空间在某个拓扑不变量上不相同，那么它们就不可能是同胚的。例如，一个圆和一个八字形曲线在连通性上是相同的，但在基本群上不相同，因此它们不是同胚的。

拓扑空间的性质：separatibility，countablity，connectedness，compactness

拓扑空间之间如果同胚，这些性质一样。

不一定。topological group是一种既是group又是topological space的数学结构，而且group的运算和逆元都是连续映射。topological manifold是一种局部类似(可以同胚到)欧氏空间的topological space。并不是所有的topological group都是topological manifold，也不是所有的topological manifold都是topological group。比如，有些topological group的拓扑结构太复杂或太奇异，无法找到一个局部同胚到欧氏空间的映射。例如，Cantor集就是一个零维的topological group（用对称差作为运算），但它不是一个零维的topological manifold，因为它不是离散的 。另一方面，有些topological manifold没有自然的group结构，或者有多种不同的group结构。例如，二维球面S2就是一个二维的topological manifold，但它不能作为一个topological group，因为它没有一个连续的交换运算 Topological spaces, topological manifolds, and topological groups

Lie group是一类特殊的topological group，它们既是topological manifold又是smooth manifold（即可以定义微分和积分的manifold）。Lie group在数学和物理中有很多重要的应用，比如表示对称性、变换群、李代数等。常见的Lie group包括实数域、复数域、四元数域、实数矩阵群（如GLn(R),SLn(R),On(R),Spn(R)等） 、复数矩阵群（如GLn(C),SLn(C),Un(C),Spn(C)等）等。

有限群也可以看作是topological group，只要给它们赋予离散拓扑（即每个单点集都是开集）。这样，group的运算和逆元都是连续映射，因为任何映射都是连续的。离散拓扑也使得每个点都有一个可数的邻域基（就是所有包含这个点的子集），所以有限群也是第一可数的和第二可数的。

同胚和微分同胚都是一种映射，它们可以保持拓扑空间的一些性质，比如连通性、紧致性、同伦等。同胚是一种连续的双射，它的逆映射也是连续的。微分同胚是一种光滑的双射，它的逆映射也是光滑的。光滑意味着可以定义导数和微分。微分同胚比同胚更强，它可以保持拓扑空间的微分结构，比如切空间、余切空间、张量场等。在smooth manifold上，微分同胚可以诱导出李导数、李括号、李群等概念。

topological group是一种拓扑空间，同时也是一个群，而且群的运算和逆元都是连续映射。在这种情况下，群的同构和拓扑空间的同胚是一致的，也就是说，一个映射既是群的同构，又是拓扑空间的同胚。但是，并不是所有的拓扑空间都是群，也不是所有的群都有拓扑结构，所以一般来说，同构和同胚是不同的概念。同构强调保持代数结构，而同胚强调保持拓扑结构。

topological manifold是同胚到欧氏空间的，而不是微分同胚到欧氏空间的。同胚只要求映射是连续的和双射的，而微分同胚还要求映射是光滑的和可导的。topological manifold只需要满足局部类似欧氏空间的拓扑性质，而不需要有微分结构。如果给topological manifold加上一个光滑结构，就可以得到一个smooth manifold，它既是topological manifold又是微分同胚到欧氏空间的。smooth manifold可以定义导数、微分、切空间等概念。

是的，任意的smooth topological manifold都可以局部微分同胚到欧氏空间。这是因为smooth topological manifold的定义就要求它有一个光滑的图册，也就是一组光滑的坐标卡，每个坐标卡都是一个从manifold到欧氏空间的微分同胚。所以在每个坐标卡的定义域内，manifold都可以看作欧氏空间的一个子集。这个性质叫做局部欧氏性（local Euclideanness）

任意的李群都对应smooth topological manifold，但是反过来不一定成立。李群是一个同时具有群结构和光滑流形结构的数学对象，而且这两种结构是相容的，也就是说群运算和逆元运算都是光滑映射。因此，李群一定是一个smooth topological manifold，因为它有一个光滑图册。但是，并不是所有的smooth topological manifold都可以赋予一个李群结构。例如，球面S2就是一个smooth topological manifold，但是它不能作为一个李群，因为它没有连通子群。